Depuis quelques années nous avons abordé les mathématiques d’un point de vue historique. Á travers leur développement depuis le VIème siècle av. J.-C. nous avons rencontré tout d’abord les différents concepts géométriques qui ont été élaborés et les questions qui se sont posées relativement à la notion de nombre, question dont nous avons approfondi différents aspects l’an dernier. L’apparition de l’algèbre chez Diophante au IIIème siècle puis au IXème siècle avec Al-Khwarizmi nous ont amené à la géométrie analytique de Descartes au début du XVIIème siècle. Tout ceci culminant lors de la « révolution scientifique du XVIIème siècle (Galilée, Fermat, Leibniz, Newton, ...) dans ce qu’on appelle alors l’analyse.

L’an dernier, dans le cours intitulé « Qu’est-ce qu’un nombre ? », j’avais commencé à abandonner ce point de vue historique montrant la construction et l’évolution des concepts mathématiques au cours de cette période, pour orienter notre réflexion vers une conception plus « thématique ».
Et cette année, je vais poursuivre en abordant la géométrie, en proposant comme titre « Qu’est-ce qu’un espace, qu’est-ce qu’une géométrie » afin d’insister sur le côté problématique du concept de géométrie. Il ne s’agira pas le plus souvent de la géométrie que l’on apprend au collège et au lycée (qui correspond grosso-modo à la géométrie grecque) mais à l’ensemble beaucoup plus vaste des questions, concepts et techniques qui ont été développés dans ce domaine jusqu’à nos jours.
Nous allons essayer de partir de questionnements actuels, liés en particulier aux développements actuels résultant de la révolution des géométries non-euclidiennes et aux différents problèmes rencontrés en physique.

Le petit enfant qui dessine ne représente pas ce qu’il voit, mais ce qu’il sait : par exemple, le cavalier a deux jambes et deux yeux visibles, le chien a quatre pattes, ...
La représentation du réel est liée à la connaissance, pas seulement à l’observation.

Avant l’apparition de la perspective au XVIème siècle, les personnages importants étaient représentés plus grands que les autres, même s’ils étaient au second plan. Cela dénote une symbolisation du réel en en utilisant certaines caractéristiques (ici le rang social) pour en faire ce qui va être l’objet du travail pictural.
On peut d’ailleurs noter que l’invention de la perspective, qui met en œvre une autre technique de représentation, va correspondre aux débuts de la révolution scientifique (Copernic, puis Galilée, ...) et de l’ascension de la classe bourgeoise (qui va financer les artistes) vers le pouvoir. Le traitement symbolique du réel reflète ici le décentrement « humaniste » du point de vue social qui se reflète au niveau technique dans la perpective où le centre devient le point de vue de l’homme.

L’utilisation de formes géométriques a remplacé des techniques telles que la perspective et l’ombrage.
L’image ci-contre représente le tableau de Pablo Picasso intitulé Fille à la mandoline (1910)


Guillaume Apollinaire rédige quelques définitions pertinentes du Cubisme dans son livre paru en 1913 et intitulé Les peintres cubistes :
● « ce qui différencie le cubisme de l’ancienne peinture, c’est qu’il n’est pas un art d’imitation, mais un art de conception ... »
● « [le cubisme] est l’art de peindre des ensembles nouveaux avec des éléments empruntés, non à la réalité de vision, mais à la réalité de connaissance ».
● Le cubisme veut « afficher la matérialité de la peinture et s’affirme comme un langage de signes ».
● Pour Apollinaire, le cubisme est un mouvement pictural qui renouvelle radicalement l’art en présentant une vision intérieure du monde, où la perspective linéaire traditionnelle est détruite pour exprimer la multiplicité des points de vue et le perpétuel mouvement des choses.

Ce qui précède témoigne d’une activité humaine consistant à essayer de représenter le réel ou la réalité.
Les mathématiciens mettent en œuvre de manière systématique et plus ou moins consciente ce processus de symbolisation du réel ; ils construisent des outils qui permettent, à travers leur imaginaire, de construire des représentations du réel sur lesquelles ils peuvent travailler.
Le psychanalyste Jacques Lacan représente par un entrelac borroméen cette inter-dépendance du réel, de l’imaginaire et du symbolique caractéristique selon lui de la réalité psychique

Notre « intuition euclidienne » du monde qui nous entoure est probablement héritée des anciens primates dont le système de contrôle moteur a été modelé depuis 30 à 40 millions d’années. Le terme géométrie désigne étymologiquement la mesure de la Terre, ce qui généralise cette origine dans le rapport à l’environnement dans lequel nous évoluons.
Le coup de génie des mathématiciens grecs a été de traduire ce modèle du réel que notre cerveau avait construit en un système d’axiomes et de théorèmes, en particulier dans les Élements d’Euclide au IIIème siècle av. J.-C.
Jusqu’à la fin du XVIIIème siècle, même si certains mathématiciens commencent à mettre en doute son « universalité », la géométrie euclidienne restera le cadre dans lequel se déroulent toutes les mathématiques et même la physique (les Principes mathématiques de la philosophie naturelle de Newton sont rédigés dans ce cadre).
Ce modèle euclidien ne sera véritablement battu en brêche qu’à partir de la première moitié du XIXème siècle avec Gauss suivi par Bolyai et Lobachevski.

Que mesure la géométrie ?
Par son nom ou son titre, elle prétend mesurer une terre, en effet. Laquelle ?
Une terre sans trace ni marque
... la géométrie écrit une langue universelle qui ne grave ni ne trace aucune marque sur aucun support, puisque nulle figure sur lui montrée ne saurait correspondre à celle qu’en vérité elle mesure et démontre.

De la nature à la culture ou de l’objectif au collectif
« tu oublies que l’égalité géométrique règne, toute-puissante, parmi les dieux comme parmi les hommes. Tu penses qu’il faut s’efforcer de l’emporter sur tous les autres : parce que tu oublies la géométrie », tonne Socrate contre Gorgias (507e-508a), jeune cadre dynamique, frais sorti des familles et des Écoles, loup assoiffé de pouvoir sanglant, vaniteux, concurrentiel, et lui montre la surprenante équivalence entre la géométrie et l’égalité.
Pas de science sans constance, sans le signe égal. Pas de connaissance sans une invariance. Or cette notion et cette opération équivalent aussi et encore à l’ordre, à la justice, à l’harmonie, au lien social. L’égalité conditionne la communauté. Ceux qui optent en faveur de l’invariance votent pour l’ordre social.

Dès l’origine, dans les mathématiques grecques, la question de la relation entre forme et mesure se pose à travers les théorèmes de Thalès et de Pythagore.
La formalisation de la perspective aux XVIème-XVIIème siècle pose à nouveau ce problème, en terme de non-conservation de la mesure.
Interprétation en terme de transformations et de groupes de transformations ; Caractérisation de la géométrie par les invariants (Felix Klein).
Les espaces non métrisables et la topologie.

triangle sur un plan et sur une sphère

plus court chemin sur la Terre

angle sur un cube

géodésiques du cylindre

géodésiques du cône

Quand on parle de géométrie, la plupart du temps, on a en tête la géométrie apprise à l’école, c’est à dire la géométrie eulidienne avec ses figures planes ou dans l’espace et ses transformations (symétries, rotations, ...). L’origine et l’importance de cette géométrie proviennent du fait que c’est à partir des débuts de l’activité mathématique humaine qu’ont été développées des méthodes permettant de décrire notre environnement spatio-temporel immédiat.


Tout ceci a perduré jusqu’au XVIIIème siècle, bien qu’un questionnement initial sur le statut du 5ème postulat d’Euclide ait, très tôt, posé implicitement le problème de la pertinence du choix de cette « géométrie ».

Des évolutions importantes des mathématiques au cours des siècles, par exemple :
⁍ le développement de la physique après Newton à travers l’étude de phénomènes qui n’étaient plus directement accessibles à nos sens (électromagnétisme, astronomie lointaine et astrophysique, structure de la matière),
⁍ la découverte en arithmétique de structures similaires à celles des structures géométriques,
⁍ en géométrie la mise en évidence d’alternatives aux axiomes d’Euclide,
⁍ en analyse la nécessité d’appliquer des méthodes proches de la géométrie à des espaces très divers (espaces de fonctions par exemple) vont voir éclore d’autres géométries : voir ci-contre une liste des géométries issus de wikipedia (en).
Ce qui va avoir pour conséquence de faire apparaître la géométrie euclidienne comme un cas très particulier.
Plutôt que de nous cantonner à la géométrie euclidienne, c’est donc à la variété et à la richesse de la dynamique de création des géométries que nous allons nous intéresser.
Et nous allons aborder cela de différents points de vue.

Prégnance de la forme dans l’environnement humain

On peut, déjà à partir de la géométrie grecque, considérer plusieurs axes de réflexion sur l’activité géométrique :

• en quoi les premiers résultats (Thalès, Pythagore, ...) diffèrent-ils des pratiques précédentes ? Nature des « objets » mathématiques dans la géométrie grecque
  
• pourquoi a-t-il paru nécessaire d’axiomatiser (Euclide) ?
  
• la relation entre forme et nombre : nécessité d’une théorie de la mesure (Eudoxe-Euclide) en relation avec une théorie des nombres
  
• les symétries et l’invariance : les polyèdres réguliers (symétries et rotations), les coniques (invariance par projection centrale)
  
• la description du monde physique par les mathématiques : les modèles de Ptolémée, la mesure de la Terre et de l’univers.
  

... comme son nom même le suggère, un « point de vue » en lui-même reste parcellaire. Il nous révèle un des aspects d’un paysage ou d’un panorama, parmi une multiplicité d’autres également valables, également « réels ». C’est dans la mesure où se conjuguent les points de vue complémentaires d’une même réalité, où se multiplient nos « yeux », que le regard pénètre plus avant dans la connaissance des choses. Plus la réalité que nous désirons connaître est riche et complexe, et plus aussi il est important de disposer de plusieurs « yeux » pour l’appréhender dans toute son ampleur et dans toute sa finesse.
[Alexander Grothendieck - Récoltes et Semailles]

Ce sont ces grands axes (et quelques autres), que nous développerons pour aborder cette question : qu’est-ce que la géométrie ?, question qu’on verra être étroitement liée à cette autre question : qu’est-ce qu’un espace.
Ceci nous ramèra d’ailleurs à la phrase de Poincaré dont j’avais parlé l’an dernier au sujet de la notion de nombre « la mathématique est l’art de donner le même nom à des choses différentes » [Poincaré, La valeur de la science, 1908)

Dans le cours précédent nous avons examiné divers exemples qui sont relatifs à ce qu’on pourrait appeler la géométrie. Nous avons vu que dans de nombreuses situations le géométrie classique, c’est à dire euclidienne n’était pas adaptée, ce qui nous amène à mettre le mot géométrie au pluriel.
Ceci ne constitue cependant pas une définition de ce qu’est une géométrie ou de ce que sont ces géométries.
On va examiner aujourd’hui tout ceci d’un autre point de vue en disant, dans un premier temps, qu’une géométrie c’est ce que s’intéresse à un espace.

En examinant cette correspondance entre géométries et espaces dans un certain nombre de cas particuliers, on mettra en évidence la nécessité de construire des géométries adaptées à ces espaces qui apparaissent en mathématiques, en physique, en technologie.
Le point important, qui est une des motivations principales de ces géométries, est que ces espaces sont abstraits : ils ne repésentent pas des objets physiques mais des systèmes de propriétés d’objets géométriques ou physiques.

En mathématiques et en mécanique classique, l’espace de configuration d’un système est l’ensemble de toutes les positions possibles de ce système, éventuellement soumis à des contraintes.

● en mécanique classique l’espace des phases d’un système matériel est l’espace dans lequel on représente à la fois la position et la vitesse - ou le plus souvent le moment, c’est à dire le produit de la masse par la vitesse - du système : espace des phases d’une particule en chute libre
espace des phases d’une objet en chute libre
● en thermodynamique on peut par exemple décrire l’état d’un système par un point dont les coordonnées représentent la pression et la température.
● em mécanique quantique l’espace des phases est l’espace des états quantiques d’un système ; c’est un espace de Hilbert complexe de dimension infinie.